简述
最近在分析电流环阶跃实验的时候，得到了下面这张图：
图中测得电流的上升时间为：
$$ t_r=1999\ \mu s $$
然后程序直接计算出了：
$$ BW\approx174.9\ Hz $$
计算公式是：
$$ BW\approx\frac{0.35}{t_r} $$
刚开始看到这个公式的时候，我其实有很多疑问。为什么拿一个上升时间做一下除法，就可以得到频域里的带宽？为什么常数偏偏是0.35，我直接使用$1/t_r$不行吗？另外带宽为什么又和$-3dB$联系在一起？
这篇文章就把我对这些问题的理解记录一下。
为什么上升越快，带宽就越高？
先不看公式，可以把电流环理解成一个有反应速度限制的系统。
给定电流从$0A$突然变为$0.4A$，控制器不可能让实际电流在同一个瞬间完成变化。电机电感、电流采样、PWM更新以及控制器计算都需要时间，所以实际电流只能逐渐上升。
如果电流环只需要很短的时间就能跟上，说明它能够处理比较快速的电流变化；如果上升很慢，那么给定变化得再快，实际电流也跟不上。
而频率描述的其实就是“变化有多快”：
- 低频信号变化慢，系统比较容易跟踪；
- 高频信号变化快，系统逐渐跟不上；
- 频率继续提高以后，输出幅值会越来越小，同时还会出现更大的相位滞后。
所以，上升时间和带宽必然具有相反的变化趋势：
$$ t_r越小\quad\Longleftrightarrow\quad BW越大 $$
不过，只知道它们是反比关系，还不能说明为什么系数一定是0.35。这个系数需要从所采用的系统模型中推导出来。
0.35到底是怎么来的？
这里最重要的前提是：把闭环电流环近似成一个标准一阶低通系统，并且使用10%到90%的上升时间。
标准一阶闭环传递函数可以写为：
$$ H(s)=\frac{1}{\tau s+1} $$
其中$\tau$是时间常数，它决定了整个系统响应的快慢。
这个系统的单位阶跃响应为：
$$ y(t)=1-e^{-t/\tau} $$
当输出达到最终值的10%时：
$$ 1-e^{-t_{10}/\tau}=0.1 $$
可以得到：
$$ t_{10}=-\tau\ln(0.9) $$
当输出达到最终值的90%时：
$$ 1-e^{-t_{90}/\tau}=0.9 $$
可以得到：
$$ t_{90}=-\tau\ln(0.1) $$
所以10%到90%的上升时间为：
$$ \begin{aligned} t_r&=t_{90}-t_{10}\ &=\tau\ln(9)\ &\approx2.1972\tau \end{aligned} $$
也就是说，我们从阶跃波形中测出$t_r$以后，其实相当于间接测出了这个系统的时间常数$\tau$。
接着再从频域看同一个一阶系统。令$s=j\omega$，它的幅值为：
$$ |H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} $$
当输出与输入的幅值比下降到：
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707 $$
也就是下降到$-3dB$时，有：
$$ \omega_c\tau=1 $$
因此：
$$ \omega_c=\frac{1}{\tau} $$
普通频率$f$与角频率$\omega$之间还差一个$2\pi$：
$$ \omega=2\pi f $$
所以一阶系统的$-3dB$截止频率为：
$$ f_c=\frac{1}{2\pi\tau} $$
现在，把时域中的$t_r=\ln(9)\tau$和频域中的$f_c=1/(2\pi\tau)$放在一起，$\tau$刚好可以消掉：
$$ \begin{aligned} f_ct_r &=\frac{1}{2\pi\tau}\cdot\ln(9)\tau\ &=\frac{\ln(9)}{2\pi}\ &\approx0.3497 \end{aligned} $$
于是最终得到：
$$ \boxed{f_c\approx\frac{0.35}{t_r}} $$
所以0.35不是人为随便设置的经验值，而是由“一阶系统”“$-3dB$带宽”和“10%到90%上升时间”这三个条件共同推导出来的换算系数。
为什么不能直接使用1除以上升时间？
使用$1/t_r$当然也能得到一个单位为Hz的数，而且它同样可以反映系统响应速度的变化趋势。上升时间越短，$1/t_r$也越大。
但是它不再等于标准一阶系统的$-3dB$带宽。
例如这次测得：
$$ t_r=1999\ \mu s=0.001999\ s $$
如果直接计算$1/t_r$：
$$ \frac{1}{0.001999}\approx500.3\ Hz $$
而按照一阶系统的$-3dB$定义计算：
$$ \frac{0.3497}{0.001999}\approx174.9\ Hz $$
两个数都能表达“快慢”，但是代表的指标不一样。$1/t_r$相当于自己定义了一个响应速度指标；$0.35/t_r$则是在特定前提下，把时域上升时间换算成大家通常所说的$-3dB$闭环带宽。
因此，问题并不在于能不能使用1，而在于计算出来的数还能不能被称为同一个“带宽”。
为什么使用-3dB定义带宽？
系统的频率响应并不会在某一个频率处突然从“完全通过”变成“完全不通过”，实际曲线是逐渐下降的。所以工程上必须选择一条统一的分界线。
幅值的分贝表示为：
$$ 20\log_{10}\left|\frac{Y}{U}\right| $$
当幅值比为$1/\sqrt{2}$时：
$$ 20\log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx-3.01\ dB $$
如果这个幅值对应的是同一个电阻上的电压或电流，那么功率与幅值的平方成正比：
$$ P=\frac{U^2}{R}\qquad 或者\qquad P=I^2R $$
所以幅值变为0.707倍时，功率比例为：
$$ (0.707)^2\approx0.5 $$
这就是$-3dB$也被叫作半功率点的原因。
反过来也一样：在负载条件不变时，如果电压或电流幅值变成原来的2倍，对应功率就会变成原来的4倍。这里的平方关系来自功率公式，并不是人为定义出来的。
那么为什么带宽使用“衰减到$-3dB$”，而不使用“放大到$+3dB$”进行测试？因为这里讨论的是相对于低频增益归一化的一阶低通系统。低频时它最容易跟随，增益接近1；随着频率提高，幅值只会逐渐下降，并不会先增加到1.414倍。因此$+3dB$这个交点在标准一阶低通响应中根本不存在。某些带谐振峰的高阶系统确实可能在局部频率出现放大，但这个峰值表达的是谐振，而不是通常意义上的低通带宽。
不过放到电流环测试中，要稍微注意一下这个概念。我们真正测量的是“实际电流幅值/电流指令幅值”的闭环增益，并不是说到了带宽频率以后，电机中的总能量就真的只剩下一半。半功率点解释了$-3dB$这个标准的来源，而电流环带宽使用的是它对应的幅值下降到低频增益的0.707倍这个定义。
同时，$-3dB$也不是“完全无失真”和“完全不能用”的绝对边界。系统在带宽以内仍然会存在幅值误差和相位滞后，超过带宽以后也不是立刻变成0。它只是一个统一、方便比较的工程指标。
为什么给一个阶跃，就能估算频域带宽？
我一开始比较不理解的一点是，带宽明明应该拿不同频率的正弦波进行扫频测试，为什么现在只给一个阶跃信号就开始计算了？
从傅里叶变换的角度看，理想阶跃并不是单一频率信号。它可以分解成直流以及很多不同频率的正弦成分。阶跃边沿越陡，需要的高频成分就越多；系统如果把高频成分衰减掉，输出边沿就会被“磨圆”，表现为更长的上升时间。
但更直接的理解其实还是时间常数$\tau$。
对于一阶系统：
- 阶跃响应的快慢由$\tau$决定；
- 正弦扫频时的$-3dB$频率也由同一个$\tau$决定。
所以我们只要通过阶跃响应测出$\tau$，就可以推算频域带宽。阶跃测试相当于用一次很简单的时域实验，代替比较麻烦的逐点正弦扫频。
这里也不能把“阶跃包含所有频率”理解成所有频率的强度都一样。理想阶跃的频谱会随频率升高而下降，真实系统发出的阶跃还会受到采样率、PWM、限幅以及给定斜率的限制。因此阶跃法适合做快速估算，但不能完全替代正规的频率响应测试。
为什么近似为一阶系统，而不是二阶？
电机电流对象本身通常带有明显的$RL$一阶特性，PI控制器合理整定以后，闭环电流响应也经常可以由一个主导极点近似成一阶系统。如果实验波形单调上升、超调很小，那么用一阶模型进行快速估算还是比较方便的。
但是实际数字电流环肯定不是真正的纯一阶系统。它还包含：
- 电流采样滤波；
- 控制器计算延迟；
- PWM更新延迟；
- 反电动势与轴间耦合；
- 电压、电流以及控制量限幅；
- 其他高阶电气与机械因素。
如果阶跃波形存在明显超调、振荡或者多段不同斜率，那么二阶甚至更高阶动态已经不能忽略。二阶系统的上升时间不仅与自然频率有关，还与阻尼比有关，此时不再存在统一的0.35系数。
所以，$0.35/t_r$不是对所有系统都成立的普遍公式。它比较适合下面这些条件：
- 闭环响应接近一阶并且基本单调；
- 上升时间明确采用10%到90%的定义；
- 测试过程中没有进入电压、电流或控制量饱和；
- 阶跃幅值处于系统近似线性的工作范围；
- 采样速度足够高，能够比较可靠地找到10%和90%的交点。
不满足这些条件时，最好直接做正弦扫频得到闭环Bode图，或者先对阶跃数据进行二阶/高阶模型拟合，再从模型计算带宽。
回到这次电流环实验
本次阶跃电流大约从$0A$变化到$0.4A$。如果以变化量$\Delta I$为基准，那么10%和90%阈值大约为：
$$ I_{10}=0.04A,\qquad I_{90}=0.36A $$
图中的两条紫色虚线对应电流穿过这两个阈值的时间，两者之差为：
$$ t_r=1999\ \mu s $$
代入更准确的系数：
$$ BW\approx\frac{0.3497}{1999\times10^{-6}}\approx174.9\ Hz $$
这个结果可以理解为：假设当前闭环电流环可以近似成一阶低通，那么使用正弦电流指令进行扫频时，在大约174.9Hz附近，实际电流的幅值可能下降到低频幅值的0.707倍。
这里用了“可能”两个字，因为它毕竟是根据阶跃响应和一阶假设得到的估算值，并不是直接扫频测得的结果。
另外，图中的采样率约为$3997.5Hz$，而1999微秒的上升过程大约只有8个采样点。它足够进行初步判断，但阈值交点很容易受到采样量化与电流噪声影响。后续如果希望这个结果更可靠，可以：
- 重复多次阶跃并进行平均；
- 使用插值估计10%和90%的穿越时刻；
- 分别测试不同阶跃幅值，确认结果是否基本一致；
- 检查测试期间是否触发了电压限幅或电流限幅；
- 最后再用小信号正弦扫频验证174.9Hz附近的闭环幅值是否真的下降到$-3dB$。
最后总结
现在回头看，$-3dB$、0.35、阶跃响应和电流环带宽其实是在描述同一件事情，只是观察角度不同。
- $\tau$描述一阶系统本身的响应快慢；
- $t_r=\ln(9)\tau$是在时域中测量10%到90%的上升时间；
- $f_c=1/(2\pi\tau)$是在频域中寻找幅值下降到0.707倍的位置；
- 消去共同的$\tau$，就得到了$f_c\approx0.35/t_r$。
所以，阶跃测试不是凭空“算出”了带宽，而是先利用一阶模型从阶跃波形中估计时间常数，再把同一个时间常数换算成$-3dB$截止频率。
这个方法的优点是简单、快速，很适合调参时进行初步判断；它的限制也同样明显：一旦实际电流环不像一阶系统，或者阶跃过程中出现饱和、超调和振荡，0.35这个换算关系就不一定可靠了。